Question

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Найдите отношение BK:AK, если площадь треугольника KBM вдвое больше площади трапеции AKMC
С подробным решением, пожалуйста

Answer 1

Если S(AKMC)=S, то S(KBM)=2S, то S(ABC)=S(AKMC)+S(KBM)=S+2S=3S.
Треугольники АВС и КВМ подобны по двум парам соответственным углам при параллельных прямых АС и КМ. тогда отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$frac{S(ABC)}{S(KBM)} = frac{3S}{2S} = frac{3}{2} =k^2Rightarrow k= sqrt{frac{3}{2} }$
Находим отношение соответственных сторон треугольников АВС и КВМ, равное коэффициенту подобия:
$frac{BA}{BK} = sqrt{frac{3}{2} } \ frac{BK+AK}{BK} = frac{ sqrt{3} }{ sqrt{2} } \ sqrt{2} BK+ sqrt{2} AK= sqrt{3} BK \ sqrt{3} BK- sqrt{2} BK= sqrt{2} AK \ ( sqrt{3} - sqrt{2} )BK= sqrt{2} AK \ frac{BK}{AK} = frac{ sqrt{2} }{ sqrt{3}- sqrt{2} } = frac{ sqrt{2}( sqrt{3}+ sqrt{2}) }{ (sqrt{3}- sqrt{2})( sqrt{3}+ sqrt{2}) } =sqrt{6}+ sqrt{4} =2+sqrt{6}$
Ответ: $2+sqrt{6}$

Answer 2

Если прямая КМ параллельна прямой АС,то <BKM=<BAC и <BMK=<BCA как соответственные углы при параллельных прямых КМ и АС и секущих АВ и ВС.Отсюда по первому признаку подобия треугольников следует,что ΔАВС подобен ΔКВМ.По теореме об отношении площадей подобных треугольников S(ABC)/S(KBM)=k²,где к-коэффициент подобия.
Пусть S(AKMC)=x,тогда S(KBM)=2x⇒S(ABC)=3x
S(ABC)/S(KBM)=3x/2x=3/2⇒k²=3/2⇒k=√(3/2)=√6/2
Если треугольники подобны,то их стороны пропорциональны⇒АВ/ВК=к,т.е. АВ/ВК=√6/2
АВ=ВК√6/2 и АК=АВ-ВК=ВК√6/2 -ВК=ВК(√6-2)/2
ВК/АК=ВК : ВК(√6-2)/2=2ВК/ВК(√6-2)=2*(√6+2)/(√6-2)(√6+2)=2(√6+2)/(6-4)=√6+2