Question

1. Найдите область определения функции: у = $frac{sqrt{8 - x}}{x + 5}$.

2. Является ли четной или нечетной функция:

g(x) = (x + 5)^3 - (x - 5)^3?

3. При каком значении b квадратный трехчлен 25 + 8b - b^2 принимает наибольшее значение?

4. Изобразите схематически график функции:

у = x^2 - 8|x| + 13.

5. Найдите асимптоты графика функции у = $-frac{6x - 4}{2x - 1}$.

6. Постройте график функции у = |4 - x^2|. Опишите свойства этой функции.

 

 

 

 

Answer 1

1. Подкоренное выражение неотрицательно, знаменатель не равен 0

$8-x geq 0; 8 geq x; x leq 8;$

 

$x+5 neq 0; x neq -5$

 

обьединяя $D(y)=<var>(-infty;-5) cup (-5;8]</var>$

 

2. Область определения - множество всех действительных чисел, x є R

$g(-x) =(-x + 5)^3 - (-x - 5)^3=-(x-5)^3-(x+5)^3= -((x+5)^3-(x-5)^3)=-g(x)$

по определению функция g(x) нечетная

 

3. $25 + 8b - b^2=41-16+8b-b^2=41-(b-4)^2<=41$, причем равенство достигается при b=4

(так как квадрат любого выражения неотрицателен)

 

4. График во вложении

при x>=0 график имеет вид y=x^2-8x+13 вершина параболы (4;-3)

при x<0 график имеет вид y=x^2+8x+13 вершина параболы (-4;-3)

 

5. 2х-1=0

х=0.5 - вертикальная асимптота

 

ищем наклонные асимптоты

$k=lim_{x->infty} frac{y(x)}{x}=lim_{x->infty} -frac{6x-4}{(2x-1)x}=lim_{x->infty} -frac{6x-4}{2x^2-x}=0;$

$b=lim_{x->infty} (y(x)-kx)=lim_{x->infty} y(x)=lim_{x->infty} -frac{6x-4}{(2x-1)}=-frac{6}{2}=-3$

значит наклонная будет одновременно горизонтальной асимптотой и равна y=-3

 

6. График во вложении

 Область определения D(y)=R

Область значений функций $E(y)=[0;+infty)$

Функция четная, непериодичная

Функция положительная на R/{-2;2}

Нули функции х1=-2, х2=2

Функция убывает на $(-infty;-2) cup (0;2)$

Функция возростает на $<var>(-2;0)</var>cup <var>(2;infty) <var></var></var>$

х=-2 и х=2 - точки локального минимума (y(-2)=y(2)=0)

x=0 - точка локального максимума (y(0)=4)

Асимптот функция не имеет