Question

Как найти такую площадь? Применяя интегралы? Помогите пожалуйста

Answer 1

Рисунок во вложении.
$S=iintlimits_Ddxdy$
Сведём данный интеграл к повторному.
$iintlimits_Ddxdy=intlimits_{x_1}^{x_2}dxintlimits_{f_1(x)}^{f_2(x)}dy$

Сначала нам нужно узнать в какие пределах изменяется  х, для этого найдём точки пересечения графиков(на рисунке это точки х1 и х2):

2sinx=1
sinx=1/2
x=(-1)^n * arcsin(1/2) + π*n, n∈Z
Из этого уравнения выбираем точки которые входят в промежуток от [0;pi]:
n=0 => x=arcsin(1/2)=π/6 (x1 на рисунке)
n=1=> x=-arcsin(1/2)+π=-π/6+π=5π/6 (х2 на рисунке)
Это и буду наши пределы интегрирования по х.

Теперь нам нужно узнать в какие пределах у нас изменяется y, для этого на рисунке проведём прямую проходящую через нашу фигуру и параллельную оси y. Теперь смотрим через какую линию она входит, и через какую выходит. Входит наша прямая через линию х=1, а выходит через линию y=2sinx, значит у изменяется от 1 до 2sinx. Ну вот и всё, нашли пределы интегрирования, подставляем и считаем:

$S=iintlimits_Ddxdy=intlimits_{frac{pi}{6}}^{frac{5pi}{6}}dxintlimits_{1}^{2sinx}dy=intlimits_{frac{pi}{6}}^{frac{5pi}{6}}(y|^{2sinx}_1)dx=intlimits_{frac{pi}{6}}^{frac{5pi}{6}}(2sinx-1)dx=\=(-2cosx-x)|^{frac{5pi}{6}}_{frac{pi}{6}}=-2cosfrac{5pi}{6}-frac{5pi}{6}-(-2cosfrac{pi}{6}-frac{pi}{6})=\=-2*(-frac{sqrt{3}}{2})-frac{5pi}{6}+2*frac{sqrt{3}}{2}+frac{pi}{6}=2sqrt{3}-frac{2pi}{3}$