Question

Может ли число вида 1999^n-1 заканчиваться на 1999 нулей? Ответ ОБЯЗАТЕЛЬНО обосновать

Answer 1

Может.

Подготовительный факт: рассмотрим бином Ньютона (a, b - целые числа)
$(a+b)^n=sumlimits_{k=0}^nC_n^ka^kb^{n-k}$
Преобразуем:
$(a+b)^n=C_n^0b^n+C_n^1ab^{n-1}+sumlimits_{k=2}^{n}C_n^ka^kb^{n-k}=\=b^n+nab^{n-1}+a^2sumlimits_{k=2}^{n}C_n^ka^{k-2}b^{n-k}=a^2cdot A+nab^{n-1}+b^n$
"А" в последнем равенстве тоже целое.

Теперь можно приступить к решению. Рассмотрим последовательность $x_n=1999^{10^n}$
$x_1=(2000-1)^{10}=2000^2cdot a_1-10cdot2000+1=10^4cdot b_1+1\ x_2=(10^4cdot b_1+1)^{10}=10^8cdot a_2+10^5cdot b_1+1=10^5cdot b_2+1\ x_3=(10^5cdot b_2+1)^{10}=10^{10}cdot a_3+10^6cdot b_2+1=10^6cdot b_3+1$
Все числа ai, bi - целые, явный вид которых не важен.
И вообще, если
$x_k=10^{k+3}b_k+1\ x_{k+1}=10^{2k+6}a_{k+1}+10^{k+4}b_k+1=10^{k+4}cdot b_{k+1}+1$

Итак, 1999^(10^k) - 1 кончается не менее, чем на (k + 3) нуля. Тогда, выбрав k = 1996, получаем желаемое.

Answer 2

Все замечательно, только эта задачка несколько лет назад на одной из Олимпиад предлагалась шестиклассникам, а они про бином Ньютона не знают. Даже формулы сокращенного умножения (бином Ньютона 2-й и 3-й степени) изучаются в 7-ом классе. Видимо тут должно быть какое-то красивое и простое решение

Answer 3

Интересно. Моей задачей не было придумывать самое простое решение, если честно. А в какой олимпиаде? И это первый прецедент её использования?

Answer 4

К Вам никаких претензий, я же не ограничил решение знаниями 6-го класса. Эта задача была на заочном турнире Архимеда в 1999-ом году. В этих турнирах принимают участие ученики 6-7 классов, причем без разделения по параллелям. Больше эту задачу ни где не встречал

Answer 5

Да и я без претензий. У заочных олимпиад своя специфика - в них решение может и не быть красивым и простым, а для решения можно читать книжки и консультироваться с коллегами. Было бы странно увидеть такую задачу на обычных олимпиадах в 6-7.