Question

Решите уравнение x^2+y^2+z^2=2015 в целых числах

Answer 1

Квадрат любого числа при делении на 8 может иметь только остаток 0, 1 или 4. Действительно, если n=2k+1, то n²=(2k+1)²=4k(k+1)+1. Произведение k(k+1) всегда делится на 2, поэтому остаток от деления квадрата нечетного числа на 8 всегда равен 1.
Если n=2(2k+1), то остаток от деления n² на 8 равен 4, и если n=4k, то n² делится на 8. Итак, Множество возможных остатков от деления х²+y²+z² на 8 образовано остатками от деления на 8 всевозможных сумм трех чисел из множества {0,1,4}, т.е. множество остатков левой части равно {0,1,4,3,6}. С другой стороны, 2015=8*251+7, т.е. остаток 7, но 7∉{0,1,4,3,6}, поэтому решений нет.

Answer 2

С 2015 все ясно, решений нет.
Интереснее с 2016. В натуральных числах я нашёл 3 решения:
4^2+8^2+44^2=16+64+1936
4^2+20^2+40^2=16+400+1600
12^2+24^2+36^2=144+576+1296
Если нужно все целые решения, то нужно добавить отрицательные значения:
(4;8;44);(4;8;-44);(4;-8;44);(4;-8;-44);
(-4;8;44);(-4;8;-44);(-4;-8;44);(-4;-8;-44)
Тоже самое с остальными решениями.