Question

На острове живут 7 синих, 9 зеленых , 11 красных хамелеонов. Когда два хамелеон разного цвета встречаются, они обо меняют свой цвет на третьий (синий, зеленый на красный и т.д.) возможно ли , что в какой-то момент все хамелеоны станут одного цвета?

Answer 1

Пусть x-количество  подмен на синий  цвет;y-число  подмен на  зеленый цвет.
z-число  подмен  на красный  цвет.(x,y,z-соответственно  целые числа)
Очевидно,что  при подмене  на определенный  цвет. Количество  хамелеонов  данного  цвета  увеличивается на 2 (поскольку другие 2  хамелеона  другово цвета из  условия) А  другие  два цвета  уменьшаются на 1 соответственно.
 1)Предположим  что  все хамелеоны станут  синими. 
Тогда общее  число  синих  шариков в конце  равно 7+9+11= 27,а  остальные по 0 : С учетом вышесказанного  ,не  зависимо от того  в каком порядке  производились  подмены ,верны равенства:

7+2x-y-z=27
9+2y-x-z=0
3  уравнение является следствием первых двух,поэтому писать  его нет cмысла  .
Вычтем эти  уравнения;
-2+3*x-3*y=27
3*(x-y)=29
но  29 не  делится на  3. То  есть  такое  невозможно. (тк x-y  целое число)
2) Предположим что  все будут зелеными,то
9+2y-x-z=27
7+2x-y-z=0
2+3y-3x=27
3*(y-x)=25
Неверно  тк  25  не делится  на 3.
3)Все красные:
11+2z-x-y=27
9+2y-x-z=0
2+3z-3y=27
3*(z-y)=29
29  не  делится на 3. Противоречие.
Ответ: нет  невозможно. 

Answer 2

Удивительно красивая задача эта будет,если будет дано произвольное число цветов . Так что количества цветов составят арифметическую прогрессию , сумма которой равна 3*a. А разность прогрессии d<3 . И нужно доказать что невозможно добиться одного цвета всех хамелеонов :). При любых натуральных a и d. Вот задача от меня :)