Question

Найдите интеграл номер 8,5,23

Answer 1

Замена переменной
$tg frac{x}{2}=t$
Тогда
$sinx= frac{2t}{1+t ^{2} }; \ cosx= frac{1-t ^{2} }{1+t ^{2} } ; \ dx= frac{2dt}{1+t ^{2} }$
Подынтегральная дробь примет вид:
$frac{dx}{2sinx-cosx+5}= frac{ frac{2dt}{1+t ^{2} } }{2cdot frac{2t}{1+t ^{2} }- frac{1-t ^{2} }{1+t ^{2} }+5 } = \ = frac{2dt}{4t-1+t ^{2}+5+5t ^{2} }=frac{2dt}{6t ^{2}+4t+4 }= frac{dt}{3t ^{2}+2t+2 }$
Выделим полный квадрат в знаменателе:
$3t ^{2}+2t+2=3(t ^{2}+ frac{2}{3}t+ frac{2}{3})=3(t ^{2}+2cdot tcdot frac{1}{3}+ frac{1}{9}- frac{1}{9}+ frac{4}{9})= \ = 3(t+ frac{1}{3}) ^{2} +3cdot frac{3}{9}=3(t+ frac{1}{3})x^{2}+1=3((t+ frac{1}{3}) ^{2} + frac{1}{3})$
Итак,
$intlimits { frac{dt}{3((t+ frac{1}{3}) ^{2}+ frac{1}{3}) } } = frac{1}{3} intlimits { frac{d(t+ frac{1}{3}) }{(t+ frac{1}{3}) ^{2}+ frac{1}{3} } } = frac{1}{3}cdot frac{1}{ sqrt{ frac{1}{3} } } arctg frac{t+ frac{1}{3} }{ sqrt{ frac{1}{3} } } }+C = \ = frac{ sqrt{3} }{3}arctg( sqrt{3}tg frac{x}{2}+ frac{ sqrt{3} }{3}) +C$

Answer 2

вполне возможно. Напишите какой

Answer 3

http://znanija.com/task/9164920

Answer 4

вы найдете ошибку у себе в решении иди это в учебнике опечатка?

Answer 5

я думаю, что в учебнике, потому как корня из пяти не получить. Можно взять производную и проверить оба ответа. Попробую

Answer 6

хорошо