Question

y=x^2-8/x-3
Провести полное исследование функции и построить график

Answer 1

Результаты исследования графика функции y = x²-(8/x)-3Область определения функции. ОДЗ: Точки, в которых функция точно неопределена: x=0
Точка пересечения графика функции с осью координат Y:График пересекает ось Y, когда x равняется 0: подставляем x=0 в x^2-(8/x)-3. 
Результат: y=zoo. Точка: (0, zoo)Точки пересечения графика функции с осью координат X:График функции пересекает ось X при y=0, значит нам надо решить уравнение:x^2-(8/x)-3 = 0 Решаем это уравнение здесь и его корни будут точками пересечения с X:
x=2.49203330117182. Точка: (2.49203330117182, 0)Экстремумы функции:Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение y'=0 (производная равна нулю), и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:y'=2*x + 8/x^2=0
Решаем это уравнение и его корни будут экстремумами:x=-1.58740105196820. Точка: (-1.58740105196820, 4.55952629936924)Интервалы возрастания и убывания функции:Найдем интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим на ведет себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:Минимумы функции в точках:-1.58740105196820Максимумов у функции нетуВозрастает на промежутках: [-1.5874010519682, oo)Убывает на промежутках: (-oo, -1.5874010519682]Точки перегибов графика функции: Найдем точки перегибов для функции, для этого надо решить уравнение y''=0 - вторая производная равняется нулю, корни полученного уравнения будут точками перегибов указанного графика функции, 
+ нужно подсчитать пределы y'' при аргументе, стремящемся к точкам неопределенности функции:y''=2 - 16/x^3=0 lim y'' при x->+0
lim y'' при x->-0
(если эти пределы не равны, то точка x=0 - точка перегиба)
Решаем это уравнение и его корни будут точками, где у графика перегибы:x=2.00000000000000. Точка: (2.00000000000000, -3.00000000000000)x=0. Точка: (0, ±oo)Интервалы выпуклости, вогнутости:Найдем интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках изгибов:Вогнутая на промежутках: [2.0, oo)Выпуклая на промежутках: (-oo, 2.0]Вертикальные асимптоты Есть: x=0 Горизонтальные асимптоты графика функции:Горизонтальную асимптоту найдем с помощью предела данной функции при x->+oo и x->-oo. Соотвествующие пределы находим:lim x^2-(8/x)-3, x->+oo = oo, значит горизонтальной асимптоты справа не существуетlim x^2-(8/x)-3, x->-oo = oo, значит горизонтальной асимптоты слева не существуетНаклонные асимптоты графика функции:Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел данной функции, деленной на x при x->+oo и x->-oo. Находим пределы :lim x^2-(8/x)-3/x, x->+oo = oo, значит наклонной асимптоты справа не существуетlim x^2-(8/x)-3/x, x->-oo = -oo, значит наклонной асимптоты слева не существуетЧетность и нечетность функции:Проверим функци четна или нечетна с помощью соотношений f(x)=f(-x) и f(x)=-f(x). Итак, проверяем:x^2-(8/x)-3 = x^2 - 3 + 8/x - Нетx^2-(8/x)-3 = -(x^2 - 3 + 8/x) - Нетзначит, функция не является ни четной ни нечетной