Даны (векторы) |a|=11, |b|=23, |a+b|=20. Вычислить |a-b|.
Ответы
Построим на данных нам векторах а и b параллелограмм АВСD.
Тогда сумме векторов a и b соответствует вектор АС, а разности этих векторов - вектор DB.
Найдем угол α между векторами при их сложении.
В треугольнике АВС, образованном векторами |a|, |b| и вектором их
суммы |a+b| по теореме косинусов:
Cosα= (11²+23²-20²)/(2*11*23) = 250/506 ≈ 0,494.
В случае разности векторов угол между ними будет равен
β= 180 - α, так как в параллелограмме углы, прилежащие к одной стороне, в сумме равны 180°.
Cosβ = -Cosα = -0,494 (-250/506).
В треугольнике ABD найдем по теореме косинусов сторону DB - диагональ
параллелограмма, равную разности векторов:
|a-b|² = |a|² + |b|² - 2*|a|*|b|*Cosβ =11²+23²-2*11*23*(-250/506)=900.
|a-b| = √900 = 30.
Ответ: |a-b| = 30.
