Question

Найти уравнение эллипса если фокусы расположены на оси ОХ симметрично отн. нач. координат, расстояние между фокусами 8, а точка М($sqrt{5}$ ; -1) лежит на эллипсе

Answer 1

Уравнение эллипса: $frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}} + frac{(y-y_{0})^{2}}{ b^{2} } =1$ 
Фокусы лежат на оси Ох симметрично начала координат => центр лежит в начале координат => $x_{0}=0; y_{0}=0 =>$$frac{x^{2}}{a^{2}} + frac{y^{2}}{ b^{2} } =1$
M($sqrt{5} ;-1$) => $frac{ sqrt{5} ^{2}}{a^{2}} + frac{(-1)^{2}}{ b^{2} } =1 =>$$frac{5}{a^{2}} + frac{1}{ b^{2} } =1 => frac{1}{ b^{2} } = frac{a^{2}-5}{a^{2}} =>$$b^{2}= frac{a^{2}}{a^{2}-5}=> b= frac{a}{ sqrt{a^{2}-5} }$
Расстояние между фокусами= 8 => 2c=8 => c=4
$c^{2} = a^{2} -b^{2} => a^{2} -b^{2}=16$ =>
$left { {{a^{2}= frac{5b^{2}}{b^{2}-1}} atop {a^{2} -b^{2}=16}} right. => frac{5b^{2}}{b^{2}-1}=b^{2} +16 =>$$5b^{2} =(b^{2} +16)*(b^{2}-1)=> 5b^{2} =b^{4}-b^{2}+16b^{2}-16 =>$$5b^{2} =b^{4}-b^{2}+16b^{2}-16 => b^{4}+10b^{2}-16=0 => b^{2}=2 sqrt{41} -5=>$$a^{2} =c ^{2} +b ^{2} =16+2 sqrt{41} -5=2 sqrt{41}+11 =>$
Уравнение эллипса: $frac{ x^{2} }{2 sqrt{41}+11} + frac{ y^{2} }{2 sqrt{41}-5} =1$

Answer 2

Настя, ты Умочка! Спасибо!