Question

Вычислить площадь области ( с помощью перехода к полярной системе координат)
$x^2 +y^2 geq e^2, x^2+y^2 leq e^4$

Answer 1

$x^2+y^2=e^2; ; to ; ; r^2cos^2phi +r^2sin^2phi=e^2,\\r^2(cos^2phi +cos^2phi )=e^2,; ; r^2=e^2,; r=e>0\\x^2+y^2=e^4; ; to ; ; r^2=e^4,; ; r=e^2>0\\S=iint r, dr, dphi=4int_0^{frac{pi}{2}}dphiint _{e}^{e^2}r, dr=4int_0^{frac{pi}{2}}(frac{r^2}{2}}|_e^{e^2})dphi =\\=4cdot frac{1}{2}int _0^{frac{pi}{2}}(e^4-e^2)dphi =2(e^4-e^2)cdot phi |_0^{frac{pi}{2}}=\\=2(e^4-e^2)(frac{pi}{2}-0)=pi e^2(e^2-1)$

Заданная область -  кольцо между окружностями с центром в (0,0) и

радиусами $r=e,r=e^2.$