Question

Сколько вершин у многоугольника с 65 диагоналями?

Answer 1

Пусть n — число вершин многоугольника. 
Каждая вершина соединена диагоналями со всеми другими вершинами, кроме двух соседних и себя самой => из одной вершины можно провести n-3 диагонали => из всех вершин можно провести n*(n-3) диагоналей. Но каждая диагональ взята дважды (по разу для каждого конца) => кол-во диагоналей в многоугольнике = $frac{n*(n-3)}{2}$ => если у многоугольника 65 диагоналей, то: $frac{n*(n-3)}{2} =65 => n^{2} -3n=130 => n^{2} -3n-130=0 => n_{1}=13, n_{2}=-10$
Кол-во вершин не может быть отрицательным => n=13 
Ответ: 13 вершин