Question

Вывести производную косинуса и тангенса.

Answer 1

Покажем, что (cos x)'=-sin x

 

По определению $y'=lim_{Delta x->0} frac {Delta y}{Delta x}$

 

Приращение функции равно

$Delta y=cos (x+Delta x)-cos x=-2sin(x+frac{Delta x}{2})sin (frac {Delta x}{2})$

Ищем отношение

$frac {Delta y}{Delta x}=-sin(x+frac{Delta x}{2})frac {sin (frac {Delta x}{2})}{Delta frac{x}{2}}$

Перейдем в этом равенстве к границе, когда  $Delta x->0$. В следствии непрерывности функции sin x</var></p> <p><img src=[/tex]lim_{Delta x->0} -sin(x+frac{Delta x}{2})=- -sin lim_{Delta x->0}(x+frac{Delta x}{2})=-sin x" title="Delta x->0" title="lim_{Delta x->0} -sin(x+frac{Delta x}{2})=- -sin lim_{Delta x->0}(x+frac{Delta x}{2})=-sin x" title="Delta x->0" alt="lim_{Delta x->0} -sin(x+frac{Delta x}{2})=- -sin lim_{Delta x->0}(x+frac{Delta x}{2})=-sin x" title="Delta x->0" />. В следствии непрерывности функции sin x

$Delta x->0$. В следствии непрерывности функции sin x

$<var>lim_{Delta x->0} -sin(x frac{Delta x}{2})=- -sin lim_{Delta x->0}(x frac{Delta x}{2})=-sin x$

 

Для второго множителя (используя один из замечательных пределов), обозначив $Delta frac {x}{2} =Delta alpha$

 

Для второго множителя (используя один из замечательных пределов), обозначив $<var>lim_{Delta x->0} -sin(x+frac{Delta x}{2})=- -sin lim_{Delta x->0}(x+frac{Delta x}{2})=-sin x$

 

Для второго множителя (используя один из замечательных пределов), обозначив $Delta frac {x}{2} =Delta alpha$, имеем

$<var>lim_{Delta x->0} frac {sin (frac {Delta x}{2})}{Delta frac{x}{2}}= lim_{alpha->0} frac {sin alpha}{alpha}=1$, имеем

$Delta frac {x}{2} =Delta alpha$, имеем

$<var>lim_{Delta x->0} frac {sin (frac {Delta x}{2})}{Delta frac{x}{2}}= lim_{alpha->0} frac {sin alpha}{alpha}=1$

Поєтому

$lim_{Delta x->0} frac {Delta y}{Delta x}=lim_{Delta x->0} (-sin(x+frac{Delta x}{2})frac {sin (frac {Delta x}{2})}{Delta frac{x}{2}})=-sin x *1=-sin x$

Т.е. (сos x)'=-sinx

 

Производная тангенса. Возьмем любую точку х є (a;b), где (a;b) - один из интервалов, на котором определена функция tg x. Ищем приращение

$Delta y=frac {sin (x+Delta x)}{cos(x+Delta x)}-frac {sin x}{cos x}= =frac{sin(x+Delta x)cos x-sinx cos(x+Delta x)}{cos(x+Delta x)cos x}= frac{sin Delta x}{cos(x+Delta x)cos x}$

Получаем отношение

$frac {Delta y}{Delta x}=frac{frac {sin Delta x}{Delta x}}{cos(x+Delta x)cos x}$

переходим к границе, когда $Delta x->0$

Поєтому

$lim_{Delta x->0} frac {Delta y}{Delta x}=lim_{Delta x->0} (-sin(x+frac{Delta x}{2})frac {sin (frac {Delta x}{2})}{Delta frac{x}{2}})=-sin x *1=-sin x$

Т.е. (сos x)'=-sinx

 

Производная тангенса. Возьмем любую точку х є (a;b), где (a;b) - один из интервалов, на котором определена функция tg x. Ищем приращение

$Delta y=frac {sin (x+Delta x)}{cos(x+Delta x)}-frac {sin x}{cos x}= =frac{sin(x+Delta x)cos x-sinx cos(x+Delta x)}{cos(x+Delta x)cos x}= frac{sin Delta x}{cos(x+Delta x)cos x}$

Получаем отношение

$frac {Delta y}{Delta x}=frac{frac {sin Delta x}{Delta x}}{cos(x+Delta x)cos x}$

переходим к границе, когда $<var>lim_{Delta x->0} frac {sin (frac {Delta x}{2})}{Delta frac{x}{2}}= lim_{alpha->0} frac {sin alpha}{alpha}=1$

Поєтому

$lim_{Delta x->0} frac {Delta y}{Delta x}=lim_{Delta x->0} (-sin(x+frac{Delta x}{2})frac {sin (frac {Delta x}{2})}{Delta frac{x}{2}})=-sin x *1=-sin x$

Т.е. (сos x)'=-sinx

 

Производная тангенса. Возьмем любую точку х є (a;b), где (a;b) - один из интервалов, на котором определена функция tg x. Ищем приращение

$Delta y=frac {sin (x+Delta x)}{cos(x+Delta x)}-frac {sin x}{cos x}= =frac{sin(x+Delta x)cos x-sinx cos(x+Delta x)}{cos(x+Delta x)cos x}= frac{sin Delta x}{cos(x+Delta x)cos x}$

Получаем отношение

$frac {Delta y}{Delta x}=frac{frac {sin Delta x}{Delta x}}{cos(x+Delta x)cos x}$

переходим к границе, когда $Delta x->0$.

$<var>lim_{Delta x->0}frac {Delta y}{Delta x}=lim_{Delta x->0}frac{frac {sin Delta x}{Delta x}}{cos(x+Delta x)cos x}=frac {1}{cos^2 x}$.

$Delta x->0$.

$<var>lim_{Delta x->0}frac {Delta y}{Delta x}=lim_{Delta x->0}frac{frac {sin Delta x}{Delta x}}{cos(x+Delta x)cos x}=frac {1}{cos^2 x}" /></var></p> <p>Следовательно производная функции y=tg x существует и равна</p> <p>[tex](tg x)'=frac {1}{cos^2 x}$