Question

радиус орбиты меркурия составляет 5.8*10^7 км.Зная также расстояние от Земли до солнца(150млн.км),определите ,во сколько раз продолжительность года на меркурии меньше,чем на земле

Answer 1

Дано:
R=5.8·10⁷ км
R₃=150 000 000 км=1,5·10⁸ км
Найти: Т₃/Т
Решение:
Солнце и планета взаимодействуют с силой
$F=G frac{Mm}{R^2}$
По Второму закону Ньютона
$F=ma$
Тогда
$ma=G frac{Mm}{R^2} \ a=G frac{M}{R^2}$
Формула центростремительного ускорения
$a= frac{v^2}{R}$
Тогда
$frac{v^2}{R} =G frac{M}{R^2} \v^2=G frac{M}{R} \ v= sqrt{G frac{M}{R} }$
Период (величина года)
$T= frac{2 pi R}{v} =frac{2 pi R}{ sqrt{G frac{M}{R} } } =2 pi sqrt{ frac{R^3}{GM} } \ T_3=2 pi sqrt{ frac{R_3^3}{GM} } \ frac{T_3}{T}= 2 pi sqrt{ frac{R_3^3}{GM} } :2 pi sqrt{ frac{R^3}{GM} } = sqrt{ frac{R^3_3}{R^3} } = sqrt{ (frac{R_3}{R})^3 } \ frac{T_3}{T}= sqrt{ (frac{1.5*10^8}{5.8*10^7})^3 } =4.16$
Ответ: в 4,16 раза