Question

Цифры двузначного числа таковы,
что если между ними вставить число 5, то цифры    полученного трехзначного числа составят арифметическую прогрессию, а если вставить число 3, то - геометрическую. Найдите это двузначное число.

Answer 1

Пусть искомое число Х=ab=10a+b
Если вставить число 5, то получится число Y=a5b=100a+50+b
При этом $a_{3}=(a,5,b)$ - арифметическая прогрессия. Тогда:
$5= frac{a+b}{2}$

Если вставить число 3, то получится число Z=a3b=100a+30+b
При этом $b_{3}=(a,3,b)$ - геометрическая прогрессия. Тогда:
$frac{3}{a}= frac{b}{3}$

Запишем систему уравнений:
$left { {{5= frac{a+b}{2}} atop { frac{3}{a}= frac{b}{3}}} right.$

$left { {a+b=10} atop { ab=9}} right.$

$left { {a=10-b} atop { b*(10-b)=9}} right.$

$left { {a=10-b} atop { b^{2}-10b+9=0}} right.$

$b^{2}-10b+9=0, D=100-36=64$
$b_{1}= frac{10-8}{2}=1$
$b_{2}= frac{10+8}{2}=9$

$a_{1}=10-1=9$
$a_{2}=10-9=1$

9, 5, 1 - арифметическая прогрессия, d=5-9=1-5=-4
9, 3, 1 - геометрическая прогрессия, q=3/9=1/3
Искомое 2-значное число 91

1, 5, 9 - арифметическая прогрессия, d=5-1=9-5=4
1, 3, 9 - не является геометрической прогрессией, q=3/1=9/3
Искомое 2-значное число 19

Ответ: 91 и 19

Answer 2

b2=(10+8)/2=18/2=9

Answer 3

да, ошиблась, спасибо! исправила

Answer 4

Отличная работа.