Question

Найти предел, не используя правило Лопиталя:
предел дроби (х+3)/(х+4) в степени (-2х), где х стремится к бесконечности
$lim_{x to infty} ((x+3)/(x+4))^(-2x)$

Answer 1

$lim_{x to infty}( frac{x+3}{x+4} )^{-2x}= lim_{x to infty}( frac{x+4-1}{x+4} )^{-2x}= \ = lim_{x to infty}( 1-frac{1}{x+4} )^{-2x}=lim_{x to infty}( 1+frac{1}{-(x+4)} )^{-(x+4) frac{2x}{x+4} }= \ =e^{ lim_{x to infty} frac{2x}{x+4} }=e^{ lim_{x to infty} frac{2x/x}{x/x+4/x} }=e^2$