Question

вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями 

X=7cosᶟt, y=7sinᶟt

Answer 1

$x=7cos^3 t, y=7sin^ 3 t, 0 leq t leq 2pi$

Сначала вычислим

$xy'-x'y=7^2 (cos^3 t *3sin^2 t cos t + sin^3 t *3cos^2 t sin t)= 3*49 sin^2 t cos^2 t (sin^2 t+cos^2 t)= 147 sin^2 t cos^2 t *1=147 sin^2 t cos^2 t=frac {147}{4} sin^2 (2t)$

Далее

$S=frac{1}{2} intlimits^{2pi}_0 {xy'-yx'} , dt= frac {147}{8} intlimits^{2pi}_0 {sin^2 2t} , dt= frac {147}{8} intlimits^{2pi}_0 {frac {1+cos (4t)}{2}} , dt= frac {147}{8} (intlimits^{2pi}_0 {frac {1}{2}} , dt+$$frac {1}{4}intlimits^{2pi}_0 {cos 4t} , d {4t})= frac {147}{8}(frac {t}{2}|limits^{2pi}_0 +frac {1}{4} sin (4t)|limits^{2pi}_0)= =frac {147}{8}* (pi - 0 +frac {1}{4} (0-0))= frac {147pi}{8}$

 

с точностью до сотых это будет 57.73