Question

разбор по составу слова заснувшими

Answer 1

Мне кажется что вот так, но я могу и ошибаться!
За - приставка,
сну - корень,
вш - суффикс
ими окончание

Answer 2

Заснувшими 
1) приставка - за 
2) окончание - ми 
3) суффикс - и 
4) корень -  снувш