Question

Парабола на координатной плоскости называется красивой, если её вершина и две точки пересечения с осью абсцисс образуют равносторонний треугольник.
Доказать, что дискриминанты квадратных трехчленов, графиками которых являются красивые параболы, равны. Найти значение этих дискриминантов.

Answer 1

Вершины треугольника - это точки на оси абсцисс  $x_1,; ; x_2$  и вершина параболы , точка с координатами  $(x_{v},; y_{v})$   .
Квадратичная функция:  $y=ax^2+bx+c$  .
Стороны треугольника равны

$|x_2-x_1|=|frac{-b+sqrt{D}}{2a}-frac{-b-sqrt{D}}{2a}|=|frac{2sqrt{D}}{2a}|=|frac{sqrt{D}}{a}|=frac{sqrt{D}}{|a|}$

Ордината вершины параболы является высотой равностороннего треугольника со стороной а:

$h=frac{sqrt3cdot a}{2}=frac{sqrt3|x_2-x_1|}{2}=frac{sqrt3}{2}cdot frac{sqrt{D}}{|a|}$

С другой стороны ордината вершины находится, подставив в функцию  абсциссу вершины:

$h>0; to ; h=|y_{v}|=|ax_{v}^2+bx_{v}+c|=|y(-frac{b}{2a})|=\\=|a(-frac{b}{2a})^2+bcdot frac{-b}{2a}+c|=|frac{ab^2-2ab^2+4a^2c}{4a^2}|=|frac{-a(b^2-4ac)}{4a^2}|=\\=|-frac{D}{4a}|=|frac{D}{4a}|$

$|frac{D}{4a}|=frac{sqrt3}{2}cdot frac{sqrt{D}}{|a|}; to \\frac{|D|}{4|a|}-frac{sqrt3}{2}cdot frac{sqrt{D}}{|a|}}=0\\frac{sqrt{D}}{2|a|}(frac{sqrt{D}}{2}-sqrt3)=0; ; to ; ; \\sqrt{D}ne 0,; |a|ne 0,; ; frac{sqrt{D}}{2}-sqrt3=0\\sqrt{D}=2sqrt3,\\ D=(2sqrt3)^2=12$