Предмет: Алгебра,
автор: angst1
Парабола на координатной плоскости называется красивой, если её вершина и две точки пересечения с осью абсцисс образуют равносторонний треугольник.
Доказать, что дискриминанты квадратных трехчленов, графиками которых являются красивые параболы, равны. Найти значение этих дискриминантов.
Ответы
Автор ответа:
0
Вершины треугольника - это точки на оси абсцисс
и вершина параболы , точка с координатами
.
Квадратичная функция:
.
Стороны треугольника равны
![|x_2-x_1|=|frac{-b+sqrt{D}}{2a}-frac{-b-sqrt{D}}{2a}|=|frac{2sqrt{D}}{2a}|=|frac{sqrt{D}}{a}|=frac{sqrt{D}}{|a|} |x_2-x_1|=|frac{-b+sqrt{D}}{2a}-frac{-b-sqrt{D}}{2a}|=|frac{2sqrt{D}}{2a}|=|frac{sqrt{D}}{a}|=frac{sqrt{D}}{|a|}](https://tex.z-dn.net/?f=%7Cx_2-x_1%7C%3D%7Cfrac%7B-b%2Bsqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D-frac%7B-b-sqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D%7C%3D%7Cfrac%7B2sqrt%7BD%7D%7D%7B2a%7D%7C%3D%7Cfrac%7Bsqrt%7BD%7D%7D%7Ba%7D%7C%3Dfrac%7Bsqrt%7BD%7D%7D%7B%7Ca%7C%7D)
Ордината вершины параболы является высотой равностороннего треугольника со стороной а:
![h=frac{sqrt3cdot a}{2}=frac{sqrt3|x_2-x_1|}{2}=frac{sqrt3}{2}cdot frac{sqrt{D}}{|a|} h=frac{sqrt3cdot a}{2}=frac{sqrt3|x_2-x_1|}{2}=frac{sqrt3}{2}cdot frac{sqrt{D}}{|a|}](https://tex.z-dn.net/?f=h%3Dfrac%7Bsqrt3cdot+a%7D%7B2%7D%3Dfrac%7Bsqrt3%7Cx_2-x_1%7C%7D%7B2%7D%3Dfrac%7Bsqrt3%7D%7B2%7Dcdot+frac%7Bsqrt%7BD%7D%7D%7B%7Ca%7C%7D)
С другой стороны ордината вершины находится, подставив в функцию абсциссу вершины:
![h>0; to ; h=|y_{v}|=|ax_{v}^2+bx_{v}+c|=|y(-frac{b}{2a})|=\\=|a(-frac{b}{2a})^2+bcdot frac{-b}{2a}+c|=|frac{ab^2-2ab^2+4a^2c}{4a^2}|=|frac{-a(b^2-4ac)}{4a^2}|=\\=|-frac{D}{4a}|=|frac{D}{4a}|\\ h>0; to ; h=|y_{v}|=|ax_{v}^2+bx_{v}+c|=|y(-frac{b}{2a})|=\\=|a(-frac{b}{2a})^2+bcdot frac{-b}{2a}+c|=|frac{ab^2-2ab^2+4a^2c}{4a^2}|=|frac{-a(b^2-4ac)}{4a^2}|=\\=|-frac{D}{4a}|=|frac{D}{4a}|\\](https://tex.z-dn.net/?f=h%26gt%3B0%3B+to+%3B+h%3D%7Cy_%7Bv%7D%7C%3D%7Cax_%7Bv%7D%5E2%2Bbx_%7Bv%7D%2Bc%7C%3D%7Cy%28-frac%7Bb%7D%7B2a%7D%29%7C%3D%5C%5C%3D%7Ca%28-frac%7Bb%7D%7B2a%7D%29%5E2%2Bbcdot+frac%7B-b%7D%7B2a%7D%2Bc%7C%3D%7Cfrac%7Bab%5E2-2ab%5E2%2B4a%5E2c%7D%7B4a%5E2%7D%7C%3D%7Cfrac%7B-a%28b%5E2-4ac%29%7D%7B4a%5E2%7D%7C%3D%5C%5C%3D%7C-frac%7BD%7D%7B4a%7D%7C%3D%7Cfrac%7BD%7D%7B4a%7D%7C%5C%5C)
Квадратичная функция:
Стороны треугольника равны
Ордината вершины параболы является высотой равностороннего треугольника со стороной а:
С другой стороны ордината вершины находится, подставив в функцию абсциссу вершины:
Похожие вопросы
Предмет: Информатика,
автор: Аноним
Предмет: Математика,
автор: vikulyakazakova02
Предмет: Алгебра,
автор: olechkan1229
Предмет: Математика,
автор: krasotkkka