Question

При каких значениях p множеством решений неравенства

px^2-2(p-1)x+2p<0 является пустое множество?

Answer 1

px^2-2(p-1)x+2p<0

D=4p^2-8p+4-8p^2<0

-4p^2-8p+4<0

p^2+2p-1>0

D=4+4=8=(2*sqrt2)^2

p1=(-2+2*sqrt2)/2=-1+sqrt2

p2=-1-sqrt2

p є (-оо; -1-sqrt2) U (-1+sqrt2; +oo)

Answer 2

Сначала иследуем случай р=0 (коэффициент при x^2 равен 0)

 

получаем неравенство -2*(0-1)x+2*0<0; 2x<0; x<0 - значит при р=0 неравенство решения имеет

 

Далее пусть р не равно0, тогда неравенство - квадратное (а не линейное)

 

Чтобы оно не имело решений, необходимо и достаточно чтобы выполнялось два условия

1: p>0 (ветви параболы направлены верх)

2: D<0 (нет точек пересечения с осью абсцисс)

тогда график параболы будет лежать над осью Ох.

 

p>0

D=(-2(p-1))^2-4*p*2p=4p^2-8p+4-8p^2=-4p^2-8p+4<0

 

-4p^2-8p+4<0;

p^2+2p-1>0;

p^2+2p+1>2;

(p+1)^2>2

учитывая, то p>0 значит p+1>0 , то (случай p+1<-корень(2) - невозможен)

p+1>корень(2)

p>корень(2)-1

 

итого обьединяя получим ответ при р є $(sqrt {2} -1; infty)$