Question

Помогите,пожалуйста!

Задание 1.Составить уравнение гиперболы,фокусы которой лежат на оси абсцисс,симметрично относительно начала координат,если
известно гипербола проходит через точку А(6,9),ее асимптоты y=(плюсминус)5/3x

Задание 2. Две стороны квадрата лежат на прямых 3x+4y+22=0 и 3x+4y-13+0.Вычислите его площадь.

Answer 1

Задача1.
 Каноническое уравнение гиперболы
$frac{ x^{2} }{a ^{2} } - frac{y ^{2} }{b ^{2} }=1, \ b ^{2}=c ^{2}-a ^{2}$
При этом ось ох проходит через фокусы.
Прямые у=±bx/a-  асимптоты гиперболы.
Значит,
$frac{b}{a}= frac{5}{3}Rightarrow b= frac{5}{3}a$
Уравнение гиперболы примет вид
$frac{ x^{2} }{a ^{2} } - frac{y ^{2} }{( frac{5}{3}a) ^{2} }=1,$
для нахождения а  подставим координаты точки А(6;9) в последнее уравнение
$frac{ 6^{2} }{a ^{2} } - frac{9 ^{2} }{( frac{5}{3}a) ^{2} }=1,$
$frac{ 36 }{a ^{2}} - frac{81cdot9 }{25a ^{2} }=1, \ frac{ 36 cdot 25}{25a ^{2}} - frac{81cdot9 }{25a ^{2} }=1,$
25a²=171
$a ^{2}= frac{171}{25} , \ b ^{2}= frac{25}{9}cdot frac{171}{25}= frac{171}{9}$
Уравнение гиперболы  принимает вид:
$frac{ x^{2} }{ frac{ (sqrt{171} }{5}) ^{2} } - frac{y ^{2} }{ frac{(sqrt{171} }{3}) ^{2} }=1$
Задача 2.
Прямые 3x+4y+22=0 и 3x+4y-13=0 параллельны.
Сторона квадрата равна расстоянию между этими прямыми
Напишем уравнение такой прямой
Прямая перпендикулярная данным будет иметь вид:
$y= frac{4}{3}x+b$
Произведение угловых коэффициентов взаимно перпендикулярных прямых равно (-1)
Для нахождения b подставим координаты точки О:
0=0+b  ⇒  b=0
Итак, прямая задана уравнением
$y= frac{4}{3}x$
Найдем точки пересечения этой прямой с данными
$1) left { {{3x+4y+22=0} atop {y= frac{4}{3}x}} right. Rightarrow left { {{3x+4cdot frac{4}{3}x+22=0} atop {y= frac{4}{3}x}}} right. Rightarrow left { {{ frac{25}{3}x =-22} atop {y= frac{4}{3}x}}}} right. \ x=- frac{66}{25}, \ y=- frac{88}{25}$
Получили точку $M(- frac{66}{25}; -frac{88}{25})$
$2) left { {{3x+4y-13=0} atop {y= frac{4}{3}x}} right. Rightarrow left { {{3x+4cdot frac{4}{3}x-13=0} atop {y= frac{4}{3}x}}} right. Rightarrow left { {{ frac{25}{3}x =13} atop {y= frac{4}{3}x}}}} right. \ x= frac{39}{25}, \ y= frac{52}{25}$
Получили точку $N( frac{39}{25}; frac{52}{25})$
Найдем |MN|
$|MN|= sqrt{(x_N-x_M) ^{2} +( y_N-y_M) ^{2}} = sqrt{( frac{39}{25}+ frac{66}{25}) ^{2} +( frac{52}{25}+ frac{88}{25}) ^{2}}= \ = sqrt{( frac{105}{25}) ^{2} +( frac{140}{25})^{2}}= frac{175}{25}=7$
S(квадрата)=7²=49