Question

1.Дано вектори a (-2, 8, -4) і b (1, -4, k). При якому значенні k вектори a і b 1.1 Колінеарні. 1.2 Перпендикулярні
2.Дано точки A(-2, 1, 3) B(3, -2, -1) C(-1, 4, 2). Знайти: А) координати векторів AB і AC. Б) модуль вектора AB. B) координати вектора MN = 2AB - 3AC
3. Дано: вектор a (2, 3, -1) і вектор b (3, -1, 0). Знайти: вектор n = 3a - 2b
4. Дано: A (1, 0, 2) B(-2, 4, 2) C(3, 1, 0). Знайти косинус кута А

Answer 1

1. Векторы коллинеарны тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны

$dfrac{-2}{1}=dfrac{8}{-4}=dfrac{-4}{k}~~Leftrightarrow~~~ k=2$

Векторы перпендикулярны тогда, когда скалярное произведение векторов равно нулю.

$(-2)cdot 1+8cdot(-4)+(-4)cdot k=0\ -2-32-4k=0\ k=-8.5$

2. a) $overline{AB}={3-(-2);-2-1;-1-3}={5;-3;-4}$

       $overline{AC}={-1-(-2);4-1;2-3}={1;3;-1}$

б) $|overline{AB}|=sqrt{5^2+(-3)^2+(-4)^2}=5sqrt{2}$

в) $overline{MN}=2overline{AB}-3overline{AC}={2cdot 5-3cdot1; 2cdot(-3)-3cdot3;2cdot(-4)-3cdot(-1)}=\ ={10-3;-6-9;-8+3}={7;-15;-5}$

3. $overline{n}=3overline{a}-2overline{b}={2cdot 3-2cdot3;3cdot3-2cdot(-1);3cdot(-1)-2cdot 0}={0;11; -3}$

4. Найдем векторы АВ и АС и потом уже найдем угол между векторами AB,AC.

$overline{AB}={-2-1;4-0;2-2}={-3;4;0}\ overline{AC}={3-1;1-0;0-2}={2;1;-2}$

$cosangle(overline{AB},overline{AC})=dfrac{overline{AB}cdot overline{AC}}{|overline{AB}|cdot |overline{AC}|}=dfrac{(-3)cdot2+4cdot1+0cdot(-2)}{sqrt{(-3)^2+4^2+0^2}cdotsqrt{2^2+1^2+(-2)^2}}=-dfrac{2}{15}$