Question

Помогите доказать тождество

Answer 1

$tg( frac{ pi }{3}+ alpha )= frac{tg frac{ pi }{3}+tg alpha }{1-tg frac{ pi }{3}tg alpha }= frac{ sqrt{3}+tg alpha }{1- sqrt{3}tg alpha } \ tg( frac{ pi }{3}- alpha )= frac{tg frac{ pi }{3}-tg alpha }{1+tg frac{ pi }{3}tg alpha }=frac{ sqrt{3}-tg alpha }{1+ sqrt{3}tg alpha }$
$tg( frac{ pi }{3}+ alpha )- tg( frac{ pi }{3}- alpha )= frac{ sqrt{3}+tg alpha }{1- sqrt{3}tg alpha } - frac{ sqrt{3}-tg alpha }{1+ sqrt{3}tg alpha } = \ = frac{( sqrt{3}+tg alpha)(1+ sqrt{3}tg alpha) }{(1- sqrt{3}tg alpha)(1+sqrt{3}tg alpha) }- frac{( sqrt{3}-tg alpha)(1- sqrt{3}tg alpha) }{(1+ sqrt{3}tg alpha)(1- sqrt{3}tg alpha) }=$
$= frac{( sqrt{3}+tg alpha)(1+ sqrt{3}tg alpha)- ( sqrt{3}-tg alpha)(1- sqrt{3}tg alpha) }{(1- sqrt{3}tg alpha)(1+sqrt{3}tg alpha) } = \ frac{ sqrt{3}+tg alpha+3tg alpha+ sqrt{3}tg ^{2} alpha - sqrt{3}+tg alpha+3tg alpha - sqrt{3}tg ^{2} alpha }{(1- sqrt{3}tg alpha)(1+sqrt{3}tg alpha) }= \ = frac{ 8tg alpha }{1- 3tg ^{2} alpha }$