Question

Решите иррациональное уравнение

Answer 1

$sqrt{8+x}=-2-x$
Путем подбора находим решенеие
х=-4

Ответ: х = -4

$sqrt{12+x} - sqrt{7x+8}=-2 \ 12+x=12+7x-4 sqrt{7x+8} \ 4 sqrt{7x+8}=6x \ 16(7x+8)=36x^2 \ 9x^2-28x-32=0 \ D=(-28)^2-4*9*(-32)=1936 \ x_1=- frac{8}{9} \ x_2=4$

Ответ: 4.

$frac{ sqrt{11+x}}{4} - frac{2}{ sqrt{11+x} } = frac{1}{2}$

Пусть 2/(√11+x)=t
$frac{1}{2t} -t= frac{1}{2} \ 1-2t^2=t \ 2t^2+t-1=0 \ t_1=-1; t2=0.5$

Обратная замена

$frac{2}{ sqrt{11+x} }=0.5 \ 4= sqrt{11+x} \ 16=11+x \ x=5$

Ответ: х = 5.

Answer 2

При возведении в квадрат, нужно быть обращать внимание на следующее.
-3 ≠1+2
Но если возвести в квадрат, то 9=9 -  верно

Поэтому нужно следить за тем, чтобы каждая часть уравнения была неотрицательной.

Уравнение № 1
$3+ sqrt{8+x}=1-x$
ОДЗ: 8+х≥0    ⇒    х≥ -8
$sqrt{8+x}=-2-x$
Возводим в квадрат при условии, что -2-х≥0    или   х≤-2
(8+х)=4+4х+х²
х²+3х-4=0
D=9-4·(-4)=25=5²
x₁=(-3-5)/2=-4    или    х₂=(-3+5)/2=1
Второй корень 1 не удовлетворяет условию  х≤-2
Ответ. х=-4

Уравнение № 2
$sqrt{12+x}- sqrt{7x+8}=-2$
ОДЗ: 12+х ≥ 0      ⇒    х≥ -12
           7х+8 ≥ 0      ⇒    х≥ -8/7
Итог. ОДЗ:  х≥ - 8/7
Перепишем уравнение в виде
$sqrt{12+x}+2= sqrt{7x+8}$
Возводим в квадрат, и левая и правая части неотрицательны
12+х+4√(12+х)+4=7х+8,
4√(12+х)=6х-8
2√(12+х)=3х-4
Возводим в квадрат при условии, что 3х-4≥0    или    х≥4/3
4(12+х)=9х²-24х+16
9х²-28х-32=0
D=(-28)²-4·9·(-32)=784+1152=1936=44²
x₁=(28-44)/18= -8/9      или     х₂=(28+44)/18=4
х₁=-8/9 не удовлетворяет условию  х≥ 4/3, поэтому не является корнем данного уравнения
Ответ. 4

Уравнение № 3
$frac{ sqrt{11+x}}{4}- frac{2}{ sqrt{11+x}}= frac{1}{2}$
ОДЗ: 11+х≥0          ⇒  х≥ -11
Замена переменной
$frac{ sqrt{11+x} }{4} =tRightarrow frac{4}{ sqrt{11+x} }= frac{1}{t}$
$frac{2}{ sqrt{11+x} }= frac{1}{2t}$
t≠0
Уравнение принимает вид:
$t- frac{1}{2t}= frac{1}{2}Rightarrow t= frac{t+1}{2t} , \ 2t ^{2}-t-1=0$,t≠0
2t²-t-1=0
D=(-1)²-4·2·(-1)=1+8=9
t₁=(1-3)/4=-1/2      или    t₂=(1+3)/4=1

Возвращаемся к переменной х:
$frac{ sqrt{11+x} }{4} =-frac{1}{2}$      или    $frac{ sqrt{11+x} }{4} =1$
√(11+x)=-2 - уравнение не имеет                      или            √(11+х)=4
 решений, так как по определению                                    возводим в квадрат
 арифметического квадратного                                        11+х=16
 корня- это число неотрицательное.                                  х=16-11=5

5 входит в ОДЗ
Ответ. х=5