Question

корень 3 степени из (-8),найти все значения этого корня.при условии,что это комплексное число

Answer 1

Пусть
$sqrt[3]{-8}=a+bi$
Причём a и b - действительные числа.$left { {{a^3-3ab^2+8=0} atop {3a^2bi-b^3i=0}} right. left { {{a^3-3ab^2+8=0} atop {bi(3a^2-b^2)=0}} right. left { {{a^3-3ab^2+8=0} atop {b(asqrt3-b)(asqrt3+b)=0}} right. \ b=0Rightarrow a^3=-8Rightarrow a = -2\b=asqrt3Rightarrow a^3-3acdot(asqrt3)^2+8=0Rightarrow 8a^3=8Rightarrow a=1\b=-asqrt3Rightarrow a^3-3acdot(-asqrt3)^2+8=0Rightarrow 8a^3=8Rightarrow a=1\ sqrt[3]{-8}=-2\sqrt[3]{-8}=1+isqrt3\sqrt[3]{-8}=1-isqrt3$
Тогда возведём в куб:
$-8 = (a+bi)^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i$
Сгруппируем действительные и мнимые части: