Предмет: Алгебра, автор: krasotka14

какое наибольшее значение может принять сумма первых n членов ар. прогрессии, если а21=33, а27=9

Ответы

Автор ответа: math89
0

По свойству арифметической прогрессии:

a_n= a_1-(n-1)d

У нас известно 2 члена арифметической прогрессии, составим из них систему и найдем d и a_1:

left { {{a_1+20d=33} atop {a_1+26d=9}} right. 

Выражаем ихз первого a_1  и получаем:

a_1=33-20d  

Подставляем во второе и получаем:

33-20d+26d=9 \ 6d+33=9 \6d=-24 \d=-4 

Подставляем d в выражение для   a_1 и получаем:

 a_1=33-20cdot(-4)=33+80=113

Теперь напишем формулу для суммы n членов арифметической прогрессии:

S_n=frac{2a_1+(n-1)d}{2}cdot n 

теперь подставляем в это выражение найденные числа и получаем:

S_n=frac{226-4(n-1)}{2}cdot n = \ =(frac{226-4n+4}{2})cdot n= \ =(frac{230-4n}{2})cdot n= \ =(115-2n)n=-2n^2+115n 

Получилась функция, которая зависит от n.

Нужно найти ее максимум:

Поскольку это парабола ветви которой направлены вниз (потому что перед n^2 стоит отрицательный коэффициент), то максимумом у нее будет точка, где производная принимает значение равное 0.

Найдем производную по n от этой функции:

Получим:

S'(n)=(-2n^2+115n)'_n=-4n+115 

Теперь надо найти где она равно 0.

Решаем уравнение:  -4n+115=0 получаем: n=frac{115}{4}=28,75

Теперь осталось выяснить какое n нам взять. n=28 или n=29.

Для этого надо просто вычислить значение суммы при n=28 и при n=29 

 

S(n)=-2n^2+115n \ S(28)=-2cdot 28^2+115cdot28=-1568+3220=1652 \ S(29)=-2cdot 29^2+115cdot29=-1682+3335=1653 

Как мы видим S(29)>S(28),

значит при n=29 сумма принимает максимальное значение равное 1653

 

Ответ: максимальное значение суммы первых n членов арифметической прогрессии равно 1653 и достигается при n=29

Похожие вопросы
Предмет: Биология, автор: pashatekeev777
Предмет: Алгебра, автор: olnikelcer