Question

найдите все натуральные n,при которых разность 5^n -2^n делится на 9

Answer 1

при n=1:5^n -2^n=5-2=3 на 9 нацело неделится

при n=2: 5^2-2^2=25-4=21 на 9 нацело не делится

при n=3:5^3-2^3=125-8=117 делится на 9

 

а дальше используем такой факт, остаток от деления произведения на число равен остатку от произведения остатков от деления каждого из множителей на єто число

разбивая 5^n на 5^3*5^3*5^3....* последний множитель либо 5 (остаток 5), либо 25 (остаток 7) либо 125 (остаток 8)

 

2^n на 2^3*2^3*2^3....* последний множитель либо 2 (остаток 2), либо 4 (остаток 4) либо 8 (остаток 8)

таким образом если число n делится на 3, то последний из остатков 8 и 8, их разность 8-8=0 и число делится на 9, иначе разности остатков будут 5-2=3 и 7-4=3

 

т.е. чтобы разность 5^n -2^n делилась на 9 необходимо и достаточно^

чтобы n=3k, k є N (к- любое натуральное число, т.е. 1,2,3,4,5 ...)

ответ: n=3k, k є N