Question

На сторонах BC, CD, DA и AB квадрата ABCD даны соответственно точки P, Q, R и S. Известно, что BP:PC=CQ:QD=DR:RA=AS:SB=k. а)Докажите, что четырехугольник PQRS-квадрат б) вычислить PQ, если AB= a ,k=3.

Answer 1

а)Так как BP:PC=CQ:QD=DR:RA=AS:SB=k значит BP=PC=CQ=QD=DR=RA=AS=SB.
угол А=В=С=D=90 градусов
треугольники DQR,RАS,SBP,PCQ- равны по 1 признаку равенства треугольников. Отсюда следует, что SP=PQ=QR=RS,PQRS-квадрат по определению.
б)CQ=k=3.  рассмотрим один из треугольников, например PCQ
так как у треугольника стороны равны он равнобедренный, а значит равны и углы при основании. значит угол QPC=PQC=(180-90):2=30 градусов. против угла в тридцать градусов лежит катет равный половине гипотенузы. Значит PQ =6 .