Question

ПОМОГИТЕ!!
Решить систему линейных уравнений тремя способами:
а) методом Гаусса
б) по формулам Крамера
с) помощью обратной матрицы.

Answer 1

а)
$left(begin{array}{ccc|c}2&-1&-1&4\5&-3&-2&10\1&-1&-5&-13end{array}right) = left(begin{array}{ccc|c}1&-1&-5&-13\2&-1&-1&4\5&-3&-2&10end{array}right) =\= left(begin{array}{ccc|c}1&-1&-5&-13\0&1&9&30\0&2&23&75end{array}right) = left(begin{array}{ccc|c}1&0&4&17\0&1&9&30\0&0&5&15end{array}right) =\= left(begin{array}{ccc|c}1&0&4&17\0&1&9&30\0&0&1&3end{array}right) = left(begin{array}{ccc|c}1&0&0&5\0&1&0&3\0&0&1&3end{array}right)$
$x_1=5, x_2=3, x_3=3.$

б)
$Delta=left|begin{array}{ccc}2&-1&-1\5&-3&-2\1&-1&-5end{array}right|=2cdot(-3)cdot(-5)+(-1)cdot(-2)cdot1+\+5cdot(-1)cdot(-1)-1cdot(-3)cdot(-1)-5cdot(-1)cdot(-5)-2cdot(-1)cdot(-2)=\=30+2+5-3-25-4=5, \ Delta_1=left|begin{array}{ccc}4&-1&-1\10&-3&-2\-13&-1&-5end{array}right| = 4cdot(-3)cdot(-5)+(-1)cdot(-2)cdot(-13)+\+10cdot(-1)cdot(-1)-(-13)cdot(-3)cdot(-1)-10cdot(-1)cdot(-5)-\-4cdot(-1)cdot(-2)=60-26+10+39-50-8=25,$
$Delta_2=left|begin{array}{ccc}2&4&-1\5&10&-2\1&-13&-5end{array}right|=2cdot10cdot(-5)+4cdot(-2)cdot1+\+5cdot(-13)cdot(-1)-1cdot10cdot(-1)-5cdot4cdot(-5)-2cdot(-13)cdot(-2)=\=-100-8+65+10+100-52=15,\ Delta_3=left|begin{array}{ccc}2&-1&4\5&-3&10\1&-1&-13end{array}right|=2cdot(-3)cdot(-13)+(-1)cdot10cdot1+\+5cdot(-1)cdot4-1cdot(-3)cdot4-5cdot(-1)cdot(-13)-2cdot(-1)cdot10=\=78-10-20+12-65+20=15,$
$x_1=frac{Delta_1}{Delta}=frac{25}{5}=5, \ x_2=frac{Delta_2}{Delta}=frac{15}{5}=3, \ x_3=frac{Delta_3}{Delta}=frac{15}{5}=3.$

в)
$left(begin{array}{ccc|ccc}2&-1&-1&1&0&0\5&-3&-2&0&1&0\1&-1&-5&0&0&1end{array}right) = left(begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-5&0&0&1\2&-1&-1&1&0&0\5&-3&-2&0&1&0end{array}right) =\= left(begin{array}{ccc|ccc}1&-1&-5&0&0&1\0&1&9&1&0&-2\0&2&23&0&1&-5end{array}right) = left(begin{array}{ccc|ccc}1&0&4&1&0&-1\0&1&9&1&0&-2\0&0&5&-2&1&-1end{array}right) =$
$=left(begin{array}{ccc|ccc}1&0&4&1&0&-1\0&1&9&1&0&-2\0&0&1&-frac{2}{5}&frac{1}{5}&-frac{1}{5} end{array}right) =left(begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&frac{13}{5}&-frac{4}{5}&-frac{1}{5}\0&1&0&frac{23}{5}&-frac{9}{5}&-frac{1}{5}\0&0&1&-frac{2}{5}&frac{1}{5}&-frac{1}{5} end{array}right),$
$left(begin{array}{ccc}frac{13}{5}&-frac{4}{5}&-frac{1}{5}\frac{23}{5}&-frac{9}{5}&-frac{1}{5}\-frac{2}{5}&frac{1}{5}&-frac{1}{5} end{array}right)cdotleft(begin{array}{c}4\10\-13end{array}right)=frac{1}{5}left(begin{array}{ccc}13&-4&-1\23&-9&-1\-2&1&-1end{array}right)cdotleft(begin{array}{c}4\10\-13end{array}right) =\= frac{1}{5}left(begin{array}{c}25\15\15end{array}right)=left(begin{array}{c}5\3\3end{array}right) , \ x_1=5, x_2=3, x_3=3.$