Question

Докажите тождества
$frac{1-tg^{2}(45 -a)}{1+tg^{2}(45-a)}=sin2a$

Answer 1

$tg( alpha pm beta )= frac{tg alpha pm tg beta }{1mp tg alpha tg beta } \ tg( 45-a )= frac{tg45-tg a}{1+tg 45tg a} = frac{1-tg a}{1+tg a}$

$frac{1-tg^{2}(45 -a)}{1+tg^{2}(45-a)}= cfrac{1- (frac{1-tg a}{1+tg a})^2 }{1+(frac{1-tg a}{1+tg a})^2}= cfrac{1- frac{1-2tg a+tg^2a}{1+2tg a+tg^2a} }{1+frac{1-2tg a+tg^2a}{1+2tg a+tg^2a}}= \ =cfrac{frac{1+2tg a+tg^2a-1+2tg a-tg^2a}{1+2tg a+tg^2a} }{frac{1+2tg a+tg^2a+1-2tg a+tg^2a}{1+2tg a+tg^2a}}= frac{1+2tg a+tg^2a-1+2tg a-tg^2a}{1+2tg a+tg^2a+1-2tg a+tg^2a}= frac{4tg a}{2+2tg^2a}= \ =frac{2tg a}{1+tg^2a}= frac{2sina}{cosa} cdot cos^2a=2 sinacosa=sin2a$

Answer 2

спасибо большое!