Question

Касательная к окружности удалена от концов диаметра на расстоянии 3 см и 15 см.
Найдите площадь круга.

Answer 1

O - центр окружности, AB - диаметр, a - касательная, E - точка касания,
$AKperp a, AK=15,$ $BLperp a, BL=3,$
$AKperp a, BLperp a Rightarrow AK||BL,$
ABLK - прямоугольная трапеция.
$OEperp a$ - свойство радиуса, проведенного в точку касания.
$OEperp a, AKperp a, BLperp a, AO=OB Rightarrow OE||AK||BL, KE=EL,$
OE - средняя линия трапеции.
$OE=frac{AK+BL}{2},$ - свойство средней линии трапеции.
$r=frac{AK+BL}{2},$
$S=pi r^2=pi (frac{AK+BL}{2})^2=frac{pi}{4}(AK+BL)^2,$
$S=frac{pi}{4}(3+15)^2=81pi$