Question

Найдите произведение корней уравнения
(x^2-4)(x+1)(x-3)=5
(Знаю что ответ 7)

Answer 1

Есть в уравнение четвертой степени вида  (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = m, и такое его решение, где а + b = c + d, или а + с = b + d, или а + d = b + c.
В данном примере будет  а + с = b + d.
$(x^2-4)(x+1)(x-3)=5\ (x-2)(x+2)(x+1)(x-3)=5\ -2+1=2+(-3)\ -1=-1$
Перемножим эти пари скобок, имеем:
$((x-2)(x+1))*((x+2)(x-3))=5\ (x^2+x-2x-2)(x^2-3x+2x-6)=5\ (x^2-x-2)(x^2-x-6)=5$
Введем замену: $x^2-x-6=y$, тогда $x^2-x-2=x^2-x-6+4=y+4$
получим уравнение:
$(y+4)y=5\ y^2+4y-5=0\ D=16+20=36\ y_1=1\ y_2=-5$
Возвращаясь к исходной переменной, решим совокупность уравнений:
$left[begin{array}{ccc}x^2-x-6=1\x^2-x-6=-5end{array}right left[begin{array}{ccc}x^2-x-7=0\x^2-x-1=0end{array}right \ 1) x^2-x-7=0\ D=1+28=29\ x_1=frac{1+sqrt{29}}{2}\ x_2=frac{1-sqrt{29}}{2}\ 2) x^2-x-1=0\ D=1+4=5\ x_3=frac{1+sqrt{5}}{2}\ x_4=frac{1-sqrt{5}}{2}$

x1, x2, x3 x4 - корни уравнения.
$frac{1+sqrt{29}}{2}*frac{1-sqrt{29}}{2}*frac{1+sqrt{5}}{2}*frac{1-sqrt{5}}{2}=frac{(1-29)(1-{5})}{16}=frac{-28*-4}{16}=7$
ответ: 7