Question

После удара футболиста начальная скорость мяча направлена точно под верхнюю перекладину ворот. Однако мяч, описав дугу, упал у ног вратаря, находящегося на линии ворот. Высота ворот h=2м. Сколько времени мяч находился в полете?

Answer 1

Пусть L - дистанция до ворот, V - начальная скорость, α - угол удара, нацеленный под штангу, h - высота ворот.
Тогда время пролета мяча равно времени преодаления дистанции L с постоянной скоростью, равной горизонтальной составляющей вектора начальной скорости
t = L/VCosα
Это же время равно времени свободного полета по вертикали с начальной скоростью, равной вертикальной составляющей начальной скорости:
t = 2VSinα/g
Из геометрии выражаем тригонометрические функции угла, с которым футболист с дистанции L прицелился под штангу ворот высотой h
Sinα = h/√(h²+L²)
Cosα = L/√(h²+L²)
Подставив эти выражения в уравнения для времени t, получаем:
t = √(h²+L²)/V
t = 2Vh/g√(h²+L²)
Из первого уравнения получаем выражение для V = √(h²+L²)/t
и подставляем его во второе
t = 2√(h²+L²)h/gt√(h²+L²) = 2h/gt
то есть
t =  2h/gt
t² = 2h/g
откуда
t = √2h/g
Таким образом, мяч находился в полёте
t = √0.4 = 0,63 сек
PS
Эту любопытную задачу можно решить проще.
Футболист "забыл" о гравитации, и прицелился в ворота под штангу "по прямой".
Не будь земного притяжения, мяч влетел бы под штангу за время t = √(h²+L²)/V
Однако, из-за того, что на поле действует сила тяжести, за то же самое время мяч  "увело" вниз как раз на высоту ворот h: h = gt²/2 - поскольку в результате мяч приземлился у ног вратаря.
Откуда мы и получаем выражение для времени полёта:
t = √2h/g
 

Answer 2

Вот спасибо!

Answer 3

Вам спасибо! Получил удовольствие.