Question

Найти угол между вектором a=i+2j+k и прямой,проходящей через точку M(0;2;1) и перпендикулярной векторам b=2i-2k и c=-i+j.

Answer 1

через какую точку проходит прямая - это не важно, нужно только знать направляющий вектор $vec p=p_xvec i+p_yvec j+p_zvec k$, он получается из системы уравнений построенный на равенстве нулю скалярных произведений:
$vec pcdot vec b = (p_x,p_y,p_z)cdot(2,0,-2)=2p_x-2p_z = 0\ vec pcdot vec c = (p_x,p_y,p_z)cdot(-1,1,0)=-p_x+p_y = 0$
Получим вектора такого типа:
$vec p_alpha=(alpha,alpha,alpha)$
Зафиксируем $alpha=1$:
$vec p = (1,1,1)$
найдем искомый угол:
$coshat{left(vec p,vec aright)} = frac{vec p cdot vec a}{|vec p| cdot |vec a|}= frac{1+2+1}{sqrt{1+1+1}cdot sqrt{1+4+1}} = frac{4}{sqrt{3}sqrt{6}}=frac{2sqrt{2}}{3}$