Question

Решите пожалуйста
2sin^2x-3cosx-3=0
Укажите корни , принадлежащие отрезку [пи;3пи]

Answer 1

1) $2sin^{2}x-3cosx-3=0$
$sin^{2}x=1-cos^{2}x$ - по основному тригонометрическому тождеству
$2*(1-cos^{2}x)-3cosx-3=0$
$2-2cos^{2}x-3cosx-3=0$
$2cos^{2}x+3cosx+1=0$
Замена: t=cosx, t∈[-1;1]
$2t^{2}+3t+1=0, D=9-8=1>0$
$t_{1}= frac{-3-1}{4}=-1$
$t_{2}= frac{-3+1}{4}=-frac{1}{2}$
Вернемся к замене:
а) $cosx=-1$
$x= pi + 2pi k$
б) $cosx=-frac{1}{2}$
$x= +-frac{2 pi }{3} +2 pi k$

2) а) $pi leq pi + 2pi k leq 3 pi$
$0 leq 2pi k leq 2 pi$
$0 leq k leq 1$
k=0, 1
$x_{1}= pi$    - ответ
$x_{2}=3 pi$   - ответ
б) $pi leq frac{2 pi }{3} +2 pi k leq 3 pi$
$frac{pi }{3} leq 2 pi k leq frac{7 pi }{3}$
$frac{1}{6} leq k leq frac{7}{6}$
k=1
$x_{3}= frac{2 pi }{3}+2 pi =frac{8 pi }{3}$   - ответ

$frac{5 pi }{3} leq 2 pi k leq frac{11 pi }{3}$
$frac{5}{6} leq k leq frac{11}{6}$
k=1, 2
$x_{4}=-frac{2 pi }{3}+2 pi =frac{4 pi }{3}$   - ответ
$x_{5}=-frac{2 pi }{3}+4 pi =frac{10 pi }{3}$   - ответ

Ответ: $pi$, $3 pi$, $frac{4 pi }{3}$, $frac{8 pi }{3}$, $frac{10 pi }{3}$