Question

вычислить неопределенный интеграл
⌡(x+2)/(x^2+x+1)dx

Answer 1

$int {frac{x+2}{x^2+x+1}} , dx = frac{1}{2}int{frac{2x+1}{x^2+x+1}} , dx +frac{3}{2}int{frac{1}{x^2+x+1}} , dx = \ = frac{1}{2}int{frac{1}{x^2+x+1}} , d(x^2+x+1) +frac{3}{2}int{frac{1}{x^2+2cdotfrac{1}{2}x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}} , dx = \ = frac{1}{2}ln|x^2+x+1| +frac{3}{2}int{frac{1}{(x+frac{1}{2})^2+frac{3}{4}}} , dx = \ = frac{1}{2}ln|x^2+x+1| +frac{3}{2}int{frac{1}{(x+frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2}} , d(x+frac{1}{2}) =$
$= frac{1}{2}ln|x^2+x+1| +frac{3}{2}(pmfrac{2}{sqrt{3}}arctgfrac{2(x+frac{1}{2})}{sqrt{3}})+C= \ = frac{1}{2}ln(x^2+x+1) pm sqrt{3}arctgfrac{2x+1}{sqrt{3}})+C$