Question

Нужно решение.
Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение длины описанной окружности к длине вписанной
окружности равно 2‍√5.‍ Найдите углы трапеции

Answer 1

Трапеция $ABCD$ $AD,BC$ нижнее и верхнее основания соответственно  $a,b$. 
Положим что основания трапеций равны $a,b$, боковая сторона $c$ 
Так как в нее можно вписать  окружность , то $a+b=2c$ .  
Угол $CDA = x$ 
По теореме косинусов получим 
$a^2-2ac*cosx=b^2+2bc*cosx\ a^2-b^2 = 2c*cosx*(b+a)\ cosx= frac{a-b}{a+b}$ 
$AC=sqrt{a^2+(frac{a+b}{2})^2-2a*frac{a+b}{2}*frac{a-b}{a+b}}\ AC=sqrt{frac{a^2+6ab+b^2}{4}}$ 
  
 Рассмотрим треугольник 
  $ACD$ он описанный , тогда по тереме синусов 
  $R=frac{frac{sqrt{a^2+6ab+b^2}}{2}}{ 2*sqrt{1- frac{a-b}{a+b}}^2 }\ R=frac{ (a+b)sqrt{a^2+6ab+b^2}}{ab} * frac{1}{4}$
 $r=sqrt{c^2-frac{ (a-b) ^2}{4}} * frac{1}{2}= sqrt{ (frac{a+b}{2})^2 - (frac{a-b}{2})^2}*0.5 = sqrt{ab}*frac{1}{2}$
 
 
$frac{R}{r} =2sqrt{5}\ frac{ (a+b)^2 *(a^2+6ab+b^2)}{a^2b^2}=320 \ b=4sqrt{3}a+7a\ cosx=frac{1-4sqrt{3}-7}{1+4sqrt{3}+7} = -frac{sqrt{3}}{2}\ x=150а$ 
 $150;30$
 
  
  
 Ответ