Question

В параллелограмме АВСD биссектриса угла В пересекает сторону АD в точке
М, а биссектриса угла D пересекает сторону ВС в точке К. Докажите что:
1) треугольник АМВ= треугольнику СКD; 2) ВМ параллельно DК

Answer 1

1. <CBM=<AMB как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ВС и AD секущей ВМ. Но <CBM=<ABM, т.к. ВМ - биссектриса, значит <AMB=<ABM, и треугольник АВМ равнобедренный (углы при его основании ВМ равны между собой). 
АВ=АМ.
<CKD=<ADK как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ВС и AD секущей KD. Но <ADK=<CDK, т.к. DK - биссектриса, значит <CKD=<CDK. Треугольник CKD получается равнобедренным с равными углами при его основании DK. 
CD=CK
Т.к. ABCD - параллелограмм, то АВ=CD. Но мы выше вывели, что АВ=АМ, а CD=CК, значит
АМ=СК
Треугольники АМВ и CKD получаются равны по двум сторонам и углу между ними: АВ=CD, АМ=СК, углы А и С равны как противоположные углы параллелограмма.

2. ВК=ВС-СК, DM=AD-АМ. Поскольку ВС=AD, а СК=АМ (как равные соответственные стороны равных треугольников АМВ и CKD), то ВК=DM. Эти отрезки лежат на параллельных сторонах ВС и AD, значит, они также параллельны. Значит, BKDM - параллелограмм (две стороны равны и параллельны), следовательно, ВМ II DK.