Question

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СК. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВС, АСК и ВСК, равны соответственно г, г1 и г2. Найдите длину высоты СК.

Answer 1

Положим что $ABC=a$  
$AC=x\ BC=y\ CK=z$
Тогда из соответственных прямоугольных треугольников, получим 
$y=frac{z}{sina}\ x=frac{z}{cosa}$      
$y=frac{KB}{cosa}\ x=frac{AK}{sina}$             
$AK=x*sina \ KB=y*cosa$
откуда 
$AK=z*tga\ KB=z*ctga$
По формуле $r=frac{x+y-c}{2}$ где $c$      гипотенуза , из соответствующих прямоугольных треугольников 
 $z+z*tga-frac{z}{cosa}=2r_{1}\ z+z*ctga-frac{z}{sina}=2r_{2}\ frac{z}{sina}+frac{z}{cosa} - sqrt{frac{z^2}{sin^2a}+frac{z^2}{cos^2a}}=2r$
Откуда 
$z=frac{2r_{1}}{tga-seca+1}\ z=frac{2r_{2}}{ctga-csca+1}\ z=r(sina+cosa+1)$
 $z=r(sin(arctg(frac{r_{1}}{r_{2}})+cos(arctg(frac{r_{1}}{r_{2}}))+1) \\ CK=r(frac{frac{ r_{1}+r_{2}}{r_{2}}}{ sqrt{frac{r_{1}^2}{r_{2}^2}+1}}+1 })$