Question

ВМесто знаков многоточия вставьте такие числа, чтобы выражение (X²+...xX+2)x(X+3)=(X+...)x(X²+...X+6) СТАЛО ТОЖДЕСТВОМ

Answer 1

хах. Сегодня на олимпиаде писал.

Обзовем первое число а, второе б, третье с. 

Надо раскрыть скобки, получится:

X3+3X2+AX2+6AX+2X+6 = X3+BX2+CX2+CXB+6X+6B

X3 сокращаются. 

Группируем:

X2(3 +2A) + X(6A+2) +6 = X2(B +C) + X(6+CB) + 6B

Делаем систему:

Ясно, что B = 1, т.к. 6B=6

3+2A=B+C

6A+2=6+CB

 Решаем, получаем, что B = 1, A = 3, C = 5.

м.б где-то ошибся, на компьютере не удобно писать.  

 

 

 

Answer 2

Пусть a,b,c - не известные числа

$(x^2+ax + 2)(x+3) = (x+b)(x^2+cx+6)$

Раскроем скобки

$x^3 + ax^2+2x+3x^2+3ax+6 = x^3+cx^2+6x+bx^2+bcx+6b\\x^3+(a+3)x^2+(2+3a)x+6 = x^3 + (b+c)x^2+(6+bc)x+6b$

Так как выражения слева и справа должны быть равны, следует что коэффициенты этих выражений также должны быть равны.

Составим систему уравнений

$left {begin{array}{lcl} {{a+3=b+c} \ {2+3a=6+bc} \{6 =6b}}end{array}right. Leftrightarrow ~ left {begin{array}{lcl} {{b=1} \{a+3=1+c} \ {2+3a=6+c}}end{array} right. Leftrightarrow ~ left {begin{array}{lcl} {{b=1} \{a-c=-2} \ {3a-c=4}}end{array} right. Leftrightarrow \\\Leftrightarrow left {begin{array}{lcl} {{b=1} \{a-c=-2} \ {2a=6}}end{array} right. Leftrightarrow left {begin{array}{lcl} {{a=3} \{b=1} \ {c=5}}end{array} right.$

Подставим найденные числа

$(x^2+3x+2)(x+3) = (x+1)(x^2+5x+6)$