Question

Доведіть, що для будь-яких додатних чисел a i b виконується нерівність $(a ^{2}+ b)( frac{1}{a} + frac{1}{b ^{2} }) geq 4 sqrt frac{a}{b}$

Answer 1

Запишем неравенство  о средних.
(x+y)>= 2*√x*y  x>0 y>0
применим его:
(a^2+b)>=2√(a^2*b)
(1/a+1/b^2)>=2√(1/a*b^2)
Переумножая почленно получим:
(a^2+b)*(1/a +1/b^2)>=4*√(a^2*b/a*b^2)=4√(a/b)
ЧТД.