Question

Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые .Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата

Answer 1

О - точка пересечения диагоналей квадрата ABCD.
EF⊥KH,    EF∩KH = O

Розовые треугольники равны по гипотенузе и острому углу (гипотенузы - половинки равных диагоналей квадрата, угол 45°, так как в квадрате диагонали лежат на биссектрисах его углов)

Значит, OE = OF = OK = OH, и следовательно EF = KH.
Диагонали четырехугольника EFKH равны и точкой пересечения делятся пополам, значит это прямоугольник. А так как диагонали еще и перпендикулярны (по условию), то это квадрат.