Question

с помощью определения функции найти ее производную y=sqrt(x)

Answer 1

1) берем точку х₀, даем приращение Δх, получаем новую точку (х₀+Δх)
2) находим приращение функции
   Δ у=f(х₀+Δх)-f(х₀)=√(х₀+Δх)-√х₀
3) вычисляем предел отношения приращения функции к приращению аргумента
$lim_{triangle x to 0} frac{ sqrt{(x_{o}+triangle x)}- sqrt{x_{o}} }{triangle x} = frac{0}{0} =(*)$
получили неопределенность (0/0), устраняем её избавляясь от иррациональности в числителе
Умножаем числитель и знаменатель на  выражение
(√(х₀+Δх)+√х₀)
Получим в числителе формулу разности квадратов:
(√(х₀+Δх)-√х₀)(√(х₀+Δх)+√х₀)=(√(х₀+Δх))²-(√х₀)²=Δх
И тогда
$(*)= lim_{triangle x to 0} frac{triangle x}{( sqrt{(x_{o}+triangle x)}+sqrt{x_{o}} )cdottriangle x}= frac{1}{2 sqrt{x_{o}} }$
Так как точка выбрана произвольно
то
$(sqrt{x} )`= frac{1}{2 sqrt{x} }$