Question

Камень брошен вертикально вверх. На высоте h он побывал дважды с интервалом Δt. Определите начальную скорость камня:
A) u0 = gt + gΔt/2
B) u0 = gt - gΔt/2
C) u0 = gΔt + gΔt/2
D) u0 = gΔt - gΔt/2

Answer 1

Движение тела состоит из двух симметричных половин: cначала подъём до максимальной высоты H, а потом падение обратно на землю.

Сначала найдём максимальную высоту подъёма:

H = v²/2g

Теперь вычислим, за какое время t тело с высоты H упадёт до высоты h:

H–h = gt²/2
t² = 2(H–h)/g = 2(v²/2g – h)/g = v²/g² – 2h/g 

Время t время равно половине Δt, поэтому

Δt²/4 = v²/g² – 2h/g 
v²/g² = Δt²/4 + 2h/g 
v² = g²Δt²/4 + 2hg 
v = √(g²Δt²/4 + 2hg)

=======================

Можно решить другом способом:

Начальная кинетическая энергия тела равна mv²/2, а энергия на высоте h:

mu²/2 = mv²/2 – mgh, где u – скорость на высоте h.

u² = v² – 2gh

Время Δt равно удвоенному времени, необходимому, чтобы сила тяжести погасила скорость u:

Δt = 2u/g 

u = gΔt/2
u² = g²Δt²/4
g²Δt²/4 = v² – 2gh
v² = g²Δt²/4 + 2gh
v = √(g²Δt²/4 + 2hg)