Question

Заданы функции на отрезке /0;1/
Значение m=7;n=29

Answer 1

$f(x)=29x+7, \ g(x)=7x+29.$
$1) intlimits^1_0 {(f(x)-g(x))} , dx= intlimits^1_0 {((29x+7)-(7x+29))} , dx= \ =intlimits^1_0 {(29x+7-7x-29)} , dx=intlimits^1_0 {(22x-22)} , dx=(22 frac{ x^{2} }{2} -22x)| _{0} ^{1}= \ 11-22<0$
То, что значение интеграла будет  <0, можно было обнаружить и не вычисляя первообразную.
График подынтегральной функции   у=22х-22 - прямая, пересекающая ось ох в точке х=1
и на [0;1] прямая расположена ниже оси ох.
Поэтому по свойству определенного интеграла, если  функция   f(x) ≥ 0 на отрезке [a; b]   и   a<b, то
$intlimits^a_b {f(x)} , dx geq 0$

$2) (f(x)-g(x))`=(22x-22)`=22, \ intlimits^1_0 {(f(x)-g(x))`(2f(x)-g(x))} , dx = intlimits^1_0 {22cdot(2(29x+7)-(7x+29))} , dx= \ =intlimits^1_0 {22cdot(58x+14-7x-29)} , dx= intlimits^1_0 {22cdot(51x-15)} , dx>0$

Так как графиком подынтегральной  функции у=51х-15 является прямая, пересекающая ось ох в точке х=15/51=5/17
на [0; 5/17] прямая расположена ниже оси ох и значение интеграла отрицательно, а на [5/17;1] прямая расположена выше оси ох и значение интеграла положительно.
Но та часть, которая расположена на [5/17;1] по величине больше, см рисунок 
Красным цветом положительное значение интеграла, синим отрицательное. Красного больше

$3)intlimits^1_0 {(f(x)-g(x))(5f(x)-g(x)) ^{2} } , dx = \ =intlimits^1_0 {(29x+7-7x-29)cdot(5(29x+7)-(7x+29))} , dx= \ =intlimits^1_0 {(22x-22)cdot(145x+35-7x-29))} , dx= \ =intlimits^1_0 {(22x-22)cdot(138x+6)} , dx<0$
Графиком подынтегральной функции у=(22х-22)(138х+6) является парабола, пересекающая ось ох в точках
х=-6/138  и х=1
На [0;1] расположена ниже оси ох.
Поэтому по свойству определенного интеграла, если  функция   f(x) ≤0  на отрезке [a; b]   и   a<b, то
$intlimits^a_b {f(x)} , dx leq 0$