Question

Докажите что 7*5^2n+12*6^n делится на 19 при любом натуральном n

Answer 1

Проверяем выполнение условия при n=1
$1)7cdot 5 ^{2}+12cdot 6=247, \ 247:19=13$
         выполняется
Предполагаем, что условие выполняется для n =k, т .е что
$2)7cdot 5 ^{2k}+12cdot 6 ^{k}=A$  кратно 19

Докажем опираясь на это предположение, что и для следующего n=k+1  условие выполняется
$3)7cdot 5 ^{2k+2}+12cdot 6 ^{k+1}$ кратно 19

Доказательство
Рассматриваем выражение в п. 3) и пытаемся выделить в нем выражение п.2) A:
$7cdot 5 ^{2k+2}+12cdot 6 ^{k+1}=7cdot 5 ^{2k}cdot 5 ^{2} +12cdot 6 ^{k}cdot 6= \=7cdot 5 ^{2k}cdot 5 ^{2} +12cdot 5 ^{2}cdot 6 ^{k}- 12cdot 5 ^{2}cdot 6 ^{k}+12cdot 6 ^{k}cdot 6 = \ =5 ^{2} (7cdot 5 ^{2k} +12cdot 6 ^{k})- 12cdot 6 ^{k}(5 ^{2} -6)=25cdot A - 12cdot 6 ^{k}cdot 19$
A кратно 19, уменьшаемое кратно, вычитаемое кратно 19, значит и вся разность кратна 19

На основании принципа математической индукции условие верно для любого натурального n