Question

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 16 дм. Найдите длину каждого катета, если площадь треугольника должна быть наибольшей

Answer 1

Пусть один катет х, другой у
16²=х²+у²      ⇒  y  =√256-x²
$S(x)= frac{xy}{2}= frac{xcdot sqrt{256- x^{2} } }{2}$
Исследуем функцию S(x) на экстремум.
Находим производную:
$S`(x)= ( frac{xcdot sqrt{256- x^{2} } }{2})`= frac{1}{2}(x` sqrt{256- x^{2} }+x( sqrt{256- x^{2} })`) \ = frac{1}{2}( sqrt{256- x^{2} }+xcdot frac{-2x}{2 sqrt{256- x^{2} } } )= frac{1}{2}( frac{256- x^{2} -x^{2}}{ sqrt{256- x^{2} } } )$
S`(x)=0
256-2x²=0
2x²-256=0
x²=128
x=√128
x=8√2
y=√(256-128)=√128=8√2
Ответ.Площадь будет принимать наибольшее значение, если треугольник прямоугольный, равнобедренный и катеты равны 8√2.