Question

1. Решите уравнение:
а). $2* 4^{x}-15* 2^{x}-8=0$
б). $12* 9^{x}-35* 6^{x}+18* 4^{x}=0$
2. Решите систему уравнений
$left { {{ 5^{x} +0,2 ^{-y} =5} atop {( 3^{x}) ^{y} }= frac{1}{9} } right.$
В ответе укажите значение выражения $frac{ x_{1}+ x_{2} }{ y_{1}+ y_{2} }$, где $( x_{1}; y_{1} )$ и $( x_{2}; y_{2})$-решения данной системы уравнений.

Answer 1

1.
$2cdot 4^{x}-15cdot 2^{x}-8=0, \ 2cdot (2^{x})^2-15cdot 2^{x}-8=0, \ 2^{x}=t, t>0, \ 2t^2-15t-8=0, \ D=289, \ t_1=- frac{1}{2} <0, t_2=8, \ 2^{x}=8, \ 2^{x}=2^3, \ x=3.$
2.
$12cdot 9^{x}-35cdot 6^{x}+18cdot 4^{x}=0, \ 12cdot (3^{x})^2-35cdot (2cdot3)^{x}+18cdot (2^{x})^2=0, \ 12cdot ((frac{3}{2})^{x})^2-35cdot (frac{3}{2})^{x}+18=0, \ (frac{3}{2})^{x}=t, t>0, \ 12t^2-35t+18=0, \ D=361, \ t_1= frac{2}{3}, t_2= frac{9}{4}; \ (frac{3}{2})^{x}= frac{2}{3}, \ (frac{3}{2})^{x}= (frac{3}{2})^{-1}, \ x_1=-1, \ (frac{3}{2})^{x}= frac{9}{4}, \ (frac{3}{2})^{x}= (frac{3}{2})^{2}, \ x_2=2.$
3.
$left { {{ 5^{x} +0,2 ^{-y} =5,} atop {( 3^{x}) ^{y} }= frac{1}{9}; } right. left { {{ 5^{x} +5^{y} =5,} atop {3^{xy}}=3^{-2};} right. left { {{ 5^{x+y}=5,} atop {3^{xy}}=3^{-2};} right. left { {{ x+y=5,} atop {xy=-2;} right. left { {{ y=5-x,} atop {x^2-5x-2=0;} right. \ D=33, \ x_1= frac{5-sqrt{33}}{2}, x_2= frac{5+sqrt{33}}{2}, \ y_1=5- frac{5-sqrt{33}}{2}= frac{5+sqrt{33}}{2}, y_2=5- frac{5+sqrt{33}}{2}= frac{5-sqrt{33}}{2};$
$frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}= frac{frac{5-sqrt{33}}{2}+frac{5+sqrt{33}}{2}}{frac{5+sqrt{33}}{2}+frac{5-sqrt{33}}{2}} = frac{frac{5-sqrt{33}+5+sqrt{33}}{2}}{frac{5+sqrt{33}+5-sqrt{33}}{2}} = frac{5}{5} =1.$