Question

Площадь прямоугольного треугольника равна 90 см^2. Сумма площадей квадратов, построенных на его катетах, равна 369 см^2. Каковы катеты этого треугольника?

Если можно, с подробным решением, пожалуйста!

Answer 1

Обозначим длину одного катета а, второго - b.

Площадь прямоугольного треугольника находится по формуле:

$S=frac{1}{2}ab$,

где а, b - катеты.

В нашем случае:

$frac{1}{2}ab=90$

Отсюда аb=90:(1/2)

аb=90*2

ab=180

На каждом катете построили квадрат, затем нашли площади этих квадратов и полученные результаты сложили.

Чтобы найти площадь квадрата, нужно возвести длину его стороны во вторую степень. Площадь квадрата, построенного на катете а будет равна а². Площадь квадрата, построенного на катете b будет равна b². Складываем площади двух квадратов:

а²+b²=369

Из полученных двух уравнений с двумя неизвестными составляем систему:

$left { {{ab=180} atop {a^2+b^2=369}} right.\ \ ab=180\a=frac{180}{b}\ \ (frac{180}{b})^2+b^2=369|*b^2\ \ 180^2+b^2b^2=369b^2\ \ b^4-369b^2+32400=0$

$b^2=t\ \ t^2-369t+32400=0\ \ D=369^2-4*32400=136161-129600=6561\ \ t_1=frac{369+sqrt{6561} }{2}=frac{369+81}{2}=frac{450}{2}=225\ \t_2=frac{369-81}{2}=frac{288}{2}=144\ \b^2=225\b=sqrt{225}\b=15\ \ b^2=144\b=sqrt{144}\ b=12$

$a=frac{180}{b}\ \ b=12; a=frac{180}{12}=15\ \ b=15; a=frac{180}{15}=12$

Ответ: катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 15 см.