Question

что такое угол треугольника при данной вершине

Answer 1

Это угол, который образуют стороны треугольника, с вершиной в данной (то есть конкретно названной) точке - вершине треугольника.

Например, для треугольника АВС:
угол при вершине А  - это ∠ВАС,
угол при вершине В - это ∠АВС,
угол при вершине С - это угол АСВ.